수학의 집합 개념을 이용하여 우주의 겉넓이 구하기

프롤로그

과학을 공부하면서 묵은 상식을 벗어버리는 것은 즐거운 일이다. 어느 날 나는 우리가 살고 있는 우주의 겉모양에 대한 상상을 하던 중 내면에서 혁명적 사건을 경험했다.

우리는 3차원의 공간에 살고 있고, 우주라는 이 3차원 공간의 부피는 헤아릴 수 없을 만큼 거대하다는 것은 부정할 수 없다. 그렇다면 이 거대한 3차원 공간을 둘러싸고 있는 우주의 겉넓이도 헤아릴 수 없을 만큼 거대할 것인가?

나는 이 질문에 대해 무턱대고 “그렇다.”고 말하는 것은 문제가 있다는 것을 제기하려고 한다. 그리고 우리가 아는 상식이 사실과 극명하게 다를 수 있다는 점도 제기하고 싶다.

나는 이 주제를 <초콜릿 상자에 우주를 넣어 파는 사람들>이라는 이야기책으로 출판하여 이미 소개한 적이 있다. 하지만 책을 보고 이해하는 분도 계셨지만 내용을 이해하기 어렵다는 말씀도 듣게 되었다.

그래서 이를 더 직관적으로 이해하기 쉬운 새로운 설명 방법을 찾아 나섰고 운 좋게도 그 방법을 찾아냈다.

이해를 쉽게 하기 위해 이번에도 간단한 이야기로 시작하려고 한다.

어떤 도둑

뭔가를 훔치려고 하는 어떤 도둑이 있다. 이 도둑은 욕심이 너무 많아서 또는 야망이 너무 커서 더 크고 더 소중한 것을 훔치려고 오랫동안 궁리를 해 왔다.

한편 이 도둑은 마지막으로 가장 크고 소중한 것을 훔친 다음 도둑질을 영원히 그만둘 생각도 하고 있었다. 오랫동안 이 문제를 고민한 도둑은 온 우주를 훔치는 것이야말로 자신이 도둑질을 그만두고 영원한 자유를 누릴 수 있는 길이라고 생각했다.

도둑은 자신만이 알고 있는 비밀의 방에서 제일 큰 보자기를 꺼냈다. 그리고 이 보자기에 과연 우주를 담을 수 있는지에 대해 생각해 보았다.

우주는 어마어마하게 크다. 우주는 수많은 별과 은하를 품고 있고, 빅뱅 이후로 끝없이 팽창하고 있기도 하다. 빛의 속도에 근접하는 우주선을 타고 수 백 만년을 달려도 우주의 끝을 보지 못한다.

우주가 어마어마하게 크다는 사실을 인지한 도둑은 순간 정신이 아찔했다. 아무리 생각해보아도 자신이 가지고 있는 보자기로는 우주를 담을 수 없다는 생각이 들었기 때문이다.

우주가 인간이 상상할 수 없으리만치 어마어마하게 크다는 것은 부피의 관점으로 우주를 보았을 때 분명히 맞는 사실이다. 도둑도 이 사실을 부정할 수 없었다.

하지만 겉넓이 관점으로 우주를 보았을 때도 마찬가지로 상상초월하게 거대할까? 그렇다면 상상초월하게 넓은 보자기가 필요해서 도둑이 우주를 보자기에 담아 훔쳐가는 것은 불가능할 것이다.

온 우주를 담기 위해 필요한 보자기의 넓이는 정녕 얼마일까?

우주의 부피처럼 상상초월하게 넓은 거대한 보자기가 필요할까?

“예”

백이면 백, 만이면 만. 거의 모든 사람들이 이 질문에 조금의 망설임도 없이 이렇게 답할 것이다.

하지만 나는 너무나 당연해서 아무도 의심하지 않는 이 질문에 대해 결코 “예”라고 대답할 수 없는 치명적인 약점을 발견했다.

역사상 많은 과학자들과 실험가들이 한계를 넘은 통찰력으로 사유의 모험을 했다. 그 결과로 인간은 묵은 상식을 깨고 지성의 새로운 지평을 개척해 왔다. 이러한 혁신은 지금도 필요하고, 영원히 끝나지 않아야 할 것이다.

정체가 뭔지는 모르지만 지금 이 순간에도 인간은 거대한 고정관념의 바위에 억눌려 있다고 나는 생각한다.

오늘의 논의는 아무도 의심하지 않고, 또 의심할 가치도 없다고 생각되는 의문에 대한 재고의 계기가 되는 것만으로도 충분히 의의가 있다고 생각한다. 나아가 논의의 결과를 인정하고 받아들임으로써 고정관념을 깨고 사고를 새로운 차원으로 확장하는 계기가 된다면 더 없이 큰 영광이 될 것이다.

최규철 연구원

전형적인 대한민국 교육과정을 밟으며 입시위주 교육의 모순을 체감했고, 차후 교육 모순의 대안을 스스로 만들어 보겠다고 다짐했다.

전공은 아니었지만 물리학과 수학을 좋아해서 취미로 꾸준히 자신만의 연구를 시행했다. 아인슈타인의 교육철학을 존중한 그는 2005년부터 11년간 입시와 무관한 스토리텔링 수학학원을 운영하면서 아인슈타인의 교육철학을 실험하였고, 아주 특별한 어린이 수학교재인 [아인슈타인수학] 전집을 저술했다.

내 돈도 안 쓰고, 투자도 안 받고, 대출도 없는 순수 무자본으로 다양한 종류의 기업을 창업해 내는 연쇄 창업가이다. 남들이 안 될 것 같다고 말하는 사업일수록 기회라고 생각해서 기어이 도전하고 구축해내는 독특한 사업가이자, 특별한 사업 아이디어를 끊임없이 제작해 내는 발상가이다.

[해적들의 창업이야기], [나는 자본없이 먼저 팔고 창업한다]를 신태순 대표와 함께 출판했고, 우주에 관한 과학 소설, [초콜릿 상자에 우주를 넣어 파는 사람들]과 아인슈타인 교육철학 해설서 [나와 아인슈타인과 아가의 미소], 아주 쉬운 상대성이론 해설서 [초딩도 이해하는 상대성이론]을 출판했다. 그러다가 2018년 호기심을 살리는 우리들의 대학교, ‘큐니버시티’를 최성호 대표와 함께 설립하여 새로운 모험을 시작했다.

* 연락처: stevenchoi@schoolmonster.kr

저자 소개
논문 초록
차례

I. 집합의 개념과 표현
II. 집합의 기본법칙
III. 정의와 공리
IV. 증명과제
V. 증명과정
VI. 우주의 겉넓이
VII. 정리와 의의

논의를 마치며