수직선에 초월수는 어디에 있나

설명

콘텐츠 소개

점이 무리수 개수만큼 모이면 선이 된다고 했는데, 무리수는 두 가지 종류가 있다. 하나는 정수 계수 대수방정식의 해가 되면서 루트(√)로 표현되는 대수적 무리수이고, 다른 하나는 정수 계수 대수방정식의 해가 될 수 없으면서 루트(√)로 표현할 수 없는 초월수이다. 고등학교 때까지 우리가 만나는 초월수는 π와 e 둘 뿐이다.

 

수직선에서 유리수 점을 다 모아서 한 줄로 이으면 그 길이는 0이다. 그러나 √2나 파이(π) 같은 무리수의 점을 모아 한 줄로 이으면 선이 된다. 결국 선을 이루는 것은 무리수 점이다. 그런데 여기서 알고 싶은 것이 있다. 대수적 무리수와 초월수. 두 가지 무리수 중 누가 선을 이루는데 실제로 기여하느냐는 것이다. 둘이 대등하게 기여할 수도 있다. 또는 하나는 기여도가 0이고 나머지 하나가 기여도 100%일 수도 있다. 이번 연구는 이것을 알아보기 위해서다.

 

논의를 객관적으로 전개하기 위해서는 하나의 통일적 기준이 필요한데 본 논문에서 우리는 실수와 수직선의 개념만을 중시하고 다른 것은 최대한 의심하는 방식을 택했다. 따라서 본 논문의 결과는 모두 실수와 수직선의 개념에서 연역적으로 도출된 정리들이다.

 

논문의 진행방법은 먼저 선행 연구(『점의 길이는 얼마인가?』)를 빠르게 복습하는 것이다. 따라서 선행 연구 논문, 『점의 길이는 얼마인가?』는 읽을 필요가 없다. 9장부터는 완전히 새로운 내용이다. 9장 이후 내용은 어느 정도 긴장감을 갖고 읽기를 권한다.

초월수는 도대체 어디에 있을까?

그럼 지금부터 흥미로운 지적 모험을 계속해 보기로 하겠다.

 

 

호기심을 푸는 대학교,

큐니버시티 모두의캠퍼스에서

 

최규철, 최재영 올림

저자 소개

저자: 최규철

 

취미로 과학과 수학을 연구하며 이를 생활과 비즈니스에 적용하기를 좋아하는 아마추어 물리학자, 아마추어 수학자, 아마추어 철학자이다.

 

 

저자: 최재영

 

수학과 과학을 좋아하는 고등학생이다. 초등학생 때부터 역시 수학과 과학을 좋아하는 아버지와 열띤 토론을 하는 것을 좋아했다. 과학자 또는 공학자가 되어 사회에 기여하고 SF작가가 되는 것이 꿈이다.

 

목 차

초록

 

1. 실수와 수직선의 개념에 대하여

2. 점과 선의 관계식 구하기

3. 유리수 점들을 한 줄로 이어붙인 선의 길이 1

4. 실수 점들을 한 줄로 이어붙인 선의 길이

5. 수직선에 존재하는 유리수와 무리수 점의 개수 비교

6. 점의 길이는 얼마인가?

7. 유리수 점들을 한 줄로 이어붙인 선의 길이 2

8. 무리수 점들을 한 줄로 이어붙인 선의 길이

9. 수직선에 존재하는 대수적 무리수와 초월수 점의 개수 비교

10. 대수적 무리수와 초월수 점의 개수 비교에 관한 다른 증명

11. 초월수 점들을 한 줄로 이어붙인 선의 길이

결론과 맺음말